Question

P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且

PA

+3

PB

+7

PC

=

0

，則△PAC與△ABC面積的比為

3

11

．

Answer 1

分析：分別延長(zhǎng) PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=3PB，PC₁=7PC，可得P是三角形 AB₁C₁ 的重心，三角形 AB₁C₁ 的面積為 3S，可用S表示所要求的面積，進(jìn)而可得答案．

解答：解：（如圖）分別延長(zhǎng) PB、PC 至 B₁、C₁，使 PB₁=3PB，PC₁=7PC，
則由已知可得：

PA

+

PB1

+

PC1

=

0

，故點(diǎn)P是三角形 AB₁C₁ 的重心，
設(shè)三角形 AB₁C₁ 的面積為 3S，則S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S，
而S_△APC=

1

7

S△APC1=

S

7

，S_△ABP=

1

3

S△APB1=

S

3

，S_△PBC=

1

3

×

1

7

S△PB1C1=

S

21

，
所以△PAC與△ABC面積的比為：

S 7

S 7 + S 3 + S 21

=

3

11

，
故答案為：

3

11

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量式的幾何意義，作輔助線得出點(diǎn)P是三角形 AB₁C₁ 的重心是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．