Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+4x的極小值為-8，其導函數y=f'（x）的圖象經過點（-2，0），如右圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的遞增區間
（3）若函數g（x）=f（x）-k在區間[-3，2]上有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因為導函數圖象經過（-2，0），代入即可求出a、b之間的關系式，再根據f（x）極小值為-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b的值；
（2）直接解不等式f′（x）=-3x²-4x+4＞0，即可求出函數f（x）的遞增區間；
（3）將函數g（x）=f（x）-k在區間[-3，2]上有兩個不同的零點，轉化成k=f（x）在區間[-3，2]上有兩個不同的根，即y=k與y=f（x）的圖象在區間[-3，2]上有兩個不同的交點，畫出函數在區間[-3，2]上的圖象，即可求出實數k的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意可知函數在x=-2處取極小值8
f′（x）=3ax²+2bx+4
∴

f′(-2)=12a-4b+4=0 f(-2)=-8a+4b-8=-8

解得：a=-1，b=-2
∴f（x）=-x³-2x²+4x，
（2）令f′（x）=-3x²-4x+4＞0
解得x∈(-2，

2

3

)
∴函數y=f（x）在 (-2，

2

3

)上單調遞增；
（3）∵函數g（x）=f（x）-k在區間[-3，2]上有兩個不同的零點，
∴k=f（x）在區間[-3，2]上有兩個不同的根
即y=k與y=f（x）的圖象在區間[-3，2]上有兩個不同的交點
畫出函數在區間[-3，2]上的圖象
結合圖形可知k∈（-3，

40

27

）

點評：考查學生會用待定系數法求函數的解析式，會利用導數求函數極值，以及函數與方程的思想，屬于中檔題．