Question

已知點A（5，3），動點P在拋物線y²=9x上移動，F為拋物線的焦點，則|PA|+|PF|取得最小值時，點P的坐標為

（1，3）

．

Answer 1

分析：設點P在拋物線準線上的射影為M，根據拋物線的定義得|PF|=|PM|，因此問題轉化為求|PA|+|PM|的最小值，再利用平面幾何性質可得答案．

解答：解：∵拋物線y²=9x中，2p=9，
∴

p

2

=

9

4

，得拋物線的焦點為F（

9

4

，0），準線為l：x=-

9

4

由P向準線l作垂線，垂足為M，由拋物線的定義得|PF|=|PM|，
再由定點A向準線作垂線，垂足為N，
可得點P在該拋物線上移動時，得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|≥|AN|，
當且僅當A，P，N三點共線時，|PA|+|PF|取得最小值AN=5+

9

4

=

29

4

，
此時P的縱坐標為3，代入拋物線方程可得P坐標為（1，3）
故答案為：（1，3）

點評：本題給出定點A和拋物線上的動點P，在拋物線的焦點為F的情況下求P到A、F的距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義與標準方程、平面幾何中求距離和的最小值等知識，屬于基礎題．