Question

如圖所示，平面四邊形PABC中，∠PAB為直角，△ABC為等邊三角形，現把△PAB沿著AB折起，使得△APB與△ABC垂直，且點M為AB的中點．
（1）求證：平面PAB⊥平面PCM
（2）若2PA=AB，求直線BC與平面PMC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由面APB⊥面ABC，PA⊥AB，得到線PA⊥面ABC，從而得到PA⊥CM，根據M為等邊三角形ABC的中點，得到CM⊥AB，從而證出線面垂直，進一步得到面面垂直；
（2）求直線BC與平面PMC所成角的余弦值，首先利用等積法求出B到面PMC的距離，該距離與BC長度的比值為直線BC與平面PMC所成角的正弦值，利用同角三角函數的基本關系式求出余弦值．
解答：（1）證明：∵△APB⊥△ABC且交線為AB
又∵∠PAB為直角，所以AP⊥平面ABC，
故AP⊥CM，
又∵△ABC為等邊三角形，點M為AB的中點，
所以CM⊥AB，又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB，又CM?△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM；
（2）解：假設PA=a，則AB=2a，再設B到平面PMC的距離為h_B．
則V_P-MBC=V_B-PMC=
在直角三角形PAM中，由PA=AM=a，得，
在等邊三角形ABC中，AB邊上的高CM=，
而三角形PMC為直角三角形，
故面積為=．
又．
∴．
故
所以直線BC與平面PMC所成角的正弦值．
所以余弦值為．
點評：本題考查了面面垂直的判定，考查了直線和平面所成的角，訓練了等積法，求解直線和平面所成角，可通過求平面的斜線上的點到平面的距離，然后用點到平面的距離比上該點到斜足的距離得到線面角的正弦值．此題是中檔題．