Question

設函數f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值；
（3）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=1時，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，易得函數在所求點的斜率．
（2）當f′（x）≥0，函數單增，f′（x）≤0時單減，令f′（x）=0的點為極值點．
（3）由題意屬于區間[x₁，x₂]的點的函數值均大于f（1），由此計算m的范圍．

解答：解：（1）當m=1時，f(x)=-

1

3

x3+x2，f′(x)=-x2+2x，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．（2分）

（2）f'（x）=-x²+2x+m²-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1-m，1+m）內是增函數．
函數f（x）在x=1-m處取得極小值f（1-m），且f（1-m）=-

2

3

m3+m2-

1

3

，
函數f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=

2

3

m3+m2-

1

3

．（6分）

（3）由題設，f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有兩個相異的實根x₁，x₂，
故x1+x2=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0，∵m＞0
解得m＞

1

2

，（8分）
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞

3

2

＞1．（10分）
①當x₁≤1＜x₂時，f（1）=-

1

3

（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合題意，
②當1＜x₁＜x₂時，對任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m²-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

，
∵由上m＞

1

2

，
綜上，m的取值范圍是（

1

2

，

3

3

）．（14分）

點評：本題較為復雜，主要考查了直線的點斜式，函數的單調性及函數的極值問題，注意掌握知識點間的關系．