Question

已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2

(1)求PC的長；

(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小；

(3)求證:二面角B—PC—D為直二面角. 

Answer 1

(1) (2) PC與BD所成角的余弦值為 (3)證明略

解析:

  因為PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=. 

∴PC=.

(2)解: 如圖，過點C作CE∥BD交AD的延長線于E，連結PE，則PC與BD所成的角為∠PCE或它的補角.

∵CE=BD=，且PE=

∴由余弦定理得

cosPCE=

∴PC與BD所成角的余弦值為.

(3）證明:設PB、PC中點分別為G、F，連結FG、AG、DF，

則GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，

從而四邊形ADFG為平行四邊形，

又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，

即ADFG為矩形，DF⊥FG.

在△PCD中，PD=，CD=，F為BC中點，

∴DF⊥PC

從而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，

即二面角B—PC—D為直二面角.?

另法（向量法）: (略)