Question

定點N（1，0），動點A、B分別在圖中拋物線y²=4x及橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的實線部分上運動，且AB∥x軸，則△NAB的周長l取值范圍是（　　）

• A、（

  2

  3

  ，2）
• B、（

  10

  3

  ，4）
• C、（

  51

  16

  ，4）
• D、（2，4）

Answer 1

分析：根據拋物線和橢圓的方程可知準線方程分別為x=-1和x=4，分別過點A、B作AA₁⊥l2于A₁，BB₁⊥l1于B₁，根據拋物線和橢圓的性質可知|BN|=e|BB₁|和|AN|=|AA₁|，代入△NAB的周長|AN|+|AB|+|BN|中，根據拋物線和橢圓的交點及橢圓的右端點可確定B點的橫坐標的范圍，進而確定周長的范圍．

解答：解：分別作出橢圓準線l₁：x=4與拋物線的準線l₂：x=-1，分別過點A、B作AA₁⊥l2于A₁，BB₁⊥l1于B₁，
由橢圓的第二定義可得|BN|=e|BB₁|=2-

1

2

x_B，由拋物線定義可得|AN|=|AA₁|=x_A+1，
∴△NAB的周長=|AN|+|AB|+|BN|=x_A+1+（x_B-x_A）+2-

1

2

x_B=3+

1

2

x_B，
又由

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

，可得兩曲線交點的橫坐標為x=

2

3

，
∵x_B∈（

2

3

，2），∴3+

1

2

x_B∈（

10

3

，4），
即△NAB的周長l的取值范圍為（

10

3

，4），
故選B．

點評：本題主要考查了橢圓和拋物線性質．要利用好橢圓的第一和第二定義及拋物線的定義．