Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， ， ， 為的中點(diǎn)．

（）求證： ．

（）求二面角的余弦值．

（）若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）余弦為；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證，可以先證明垂直于所在的平面；（2）可以用向量法解決，取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面、平面的法向量，并求出法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的余弦值；（3）因?yàn)?/span>平面，只需，利用即可求出的值.

試題解析：（1）由于平面平面， 為等邊三角形， 為的中點(diǎn)，則，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以平面，又平面，則．

（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，由于平面與軸垂直，則設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，則，二面角的余弦值，由二面角為鈍二面角，所以二面角的斜弦值為．

（3）有（1）知平面，則，若平面，只需，，又

，解得

或，由于，則．