Question

已知數列{a_n}的首項為a₁=1，其前n項和為s_n，且對任意正整數n有：n、a_n、S_n成等差數列．
（1）求證：數列{S_n+n+2}成等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由n、a_n、S_n成等差數列，可得2a_n=n+S_n，所以2（S_n-S_n-1）=n+S_n，由此可得結論；
（2）先求數列{S_n+n+2}的通項，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵n、a_n、S_n成等差數列
∴2a_n=n+S_n，
∴2（S_n-S_n-1）=n+S_n，
∴S_n+n+2=2[S_n-1+（n-1）+2]
∴

Sn+n+2

Sn-1+(n-1)+2

=2
∴{S_n+n+2}成等比數列
（2）解：由（1）知{S_n+n+2}是以S₁+3=a₁+3=4為首項，2為公比的等比數列
∴Sn+n+2=4•2n-1=2n+1
又2a_n=n+S_n，∴2

a

n

+2=2n+1
∴an=2n-1

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列遞推式，考查數列的通項，求得數列是等比數列是關鍵．