Question

（1）設f（x）=

2x+b       x＞0 0              x=0，試確定b的值，使 lim x→0 f (x)存在 1+2x       x＜0

；
（2）f（x）為多項式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，

lim

x→0

f(x)

x

=5，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）先求出

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0+

（2x+b）=b，

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0-

（1+2^x）=2，再由

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0-

f（x），確定b的值．
（2）由于f（x）是多項式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，可設f（x）=4x³+x²+ax+b，再由

lim

x→0

（4x²+x+a+

b

x

）=5，確定f（x）的表達式．

解答：解：（1）

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0+

（2x+b）=b，

lim

x→0-

f（x）=

lim

x→0-

（1+2^x）=2，
當且僅當b=2時，

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0-

f（x），故b=2時，原極限存在．
（2）由于f（x）是多項式，且

lim

x→∞

f(x)-4x3

x

=1，
∴可設f（x）=4x³+x²+ax+b（a、b為待定系數）．
又∵

lim

x→0

f(x)

x

=5，即

lim

x→0

（4x²+x+a+

b

x

）=5，
∴a=5，b=0，即f（x）=4x³+x²+5x．

點評：（1）函數在某點處有極限，與其在該點處是否連續不同．
（2）初等函數在其定義域內每點的極限值就等于這一點的函數值，也就是對初等函數而言，求極限就是求函數值，使極限運算大大簡化．