Question

已知三條直線l₁:2x-y+a=0(a＞0),直線l₂:-4x+2y+1=0和直線l₃:x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是.

(1)求a的值.

(2)求l₃到l₁的角θ.

(3)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的;③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是∶?若能，求P點坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

剖析：求解本題的必需工具是三個公式：平行直線間的距離公式，直線到直線的“到角”公式和點到直線的距離公式.其中第(3)問應解一個由①②③建立起來的方程組.

解：(1)l₂即2x-y-=0,∴l₁與l₂的距離d==.

    ∴=.

    ∴|a+|=.

    ∵a＞0,∴a=3.

    (2)由(1)，l₁即2x-y+3=0,∴k₁=2.

    而l₃的斜率k₃=-1,

    ∴tanθ== =-3.

    ∵0≤θ≤π,∴θ=π-arctan3.

    (3)設點P(x₀,y₀),若P點滿足條件②，則P點在與l₁、l₂平行的直線l′:2x-y+c=0上.且=,即c=或c=.

    ∴2x₀-y₀+=0或2x₀-y₀+=0.

    若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，有=×,

    即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|.

    ∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0.

    由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能.

    聯立方程2x₀-y₀+=0和x₀-2y₀+4=0,解得

    由得

    ∴P(,)即為同時滿足三個條件的點.