Question

直線x+y=a與圓x²+y²=-a²+2a有公共點（m，n），且t=mn，則t的取值范圍為（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，

  4

  9

  ]
• B．[-

  1

  4

  ，2]
• C．[-

  1

  4

  ，

  1

  2

  ]
• D．[-

  1

  4

  ，+∞]

Answer 1

分析：由x²+y²=-a²+2a為圓的方程，得到-a²+2a大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍，同時根據直線與圓相交，得到圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍，求出兩解集的交集得到滿足題意的a的范圍，然后把公共點的坐標代入直線和圓的方程，分別得到關于m與n的兩個方程，聯立兩方程可表示出mn，即為t關于a的二次函數關系式，由a的范圍，利用二次函數的性質即可求出函數的最大值及最小值，得到t的取值范圍．

解答：解：由圓的方程x²+y²=-a²+2a，得到-a²+2a＞0，
即a（a-2）＜0，
解得：0＜a＜2，
由直線與圓相交，
得到圓心到直線的距離d=

|a|

2

＜r=

-a2+2a

，
整理得：a（3a-4）≤0，
解得：0≤a≤

4

3

，
∴a的取值范圍為0＜a≤

4

3

，
把公共點（m，n）代入直線方程得：m+n=a①，
代入圓方程得：m²+n²=-a²+2a②，
聯立①②解得：mn=a²-a，即t=a²-a，
根據二次函數的性質可知：t的最小值為-

1

4

，最大值為

16

9

-

4

3

=

4

9

，
則t的取值范圍是[-

1

4

，

4

9

]．
故選A．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：二元二次方程構成圓的條件，點到直線的距離公式，以及二次函數的性質，當直線與圓相交或相切時圓心到直線的距離小于或等于圓的半徑，熟練運用此性質是解本題的關鍵．