Question

設函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數f′（x）=

1

x

，g（x）=f（x）+f′（x）．求g（x）的單調區間和最小值．

Answer 1

分析：由f′（x）=

1

x

，確定函數f（x）=lnx，然后求g'（x），利用導數求g（x）的單調區間和最小值．

解答：解：由題設易知f(x)=lnx，g(x)=lnx+

1

x

，g′(x)=

x-1

x2

，令g'（x）=0，得x=1．
當 x∈（0，1）時，g'（x）＜0，故（0，1）是g（x）的單調減區間，
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的單調增區間，
因此，x=1是 g（x）的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，
所以最小值為g（1）=1．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性與最小值，要求熟練掌握導數和單調性與極值、最值的關系．