Question

已知（其中k為非零常數）．
（1）解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求k的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量的數量積，求出函數的表達式，直接利用分類討論解關于x的不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，轉化為，在（0，+∞）上恒成立，利用基本不等式，求k的范圍．
解答：解：（1）=，
則f（x）＞0，即，即，
①如果k＞0，則原不等式等價于x（x-2k）＜0，
∴0＜x＜2k．
②如果k＜0，則原不等式等價于x（x-2k）＜0，
∴x＞0或x＜2k．
綜上所述，當k＞0時，原不等式的解集為{x|0＜x＜2k}．
當k＜0時，原不等式的解集為{x|0＜x或x＜2k}．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
即，在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=，∵x＞0，
∴g（x）≥2×2=4，當且僅當x=1時取等號，
∴，解得k＜0或k．
點評：本題考查向量的數量積的應用，基本不等式的應用，分類討論的思想，考查計算能力．