Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，是邊長為4的正三角形，平面平面，SA=SC=，M，N分別為AB，SB的中點.

（1）求證：AC⊥SB；

（2）求二面角N－CM－B的余弦值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取，中點，連接，，由題意可得，，再由線面垂直的判定可得平面，進一步得到；

（2）如圖以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，求出，，，，，的坐標，得到平面與平面的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．

解：（1）證明：取，中點，連接，，由題意可得，，

又，平面，平面

平面，

又平面

所以；

（2）解：如圖以為原點，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，

則，0，，，，，，0，，，0，，，，，，，，

由已知條件易得平面的法向量為，設面的法向量為，

，．

由，取，得，

設為所求角，則．

二面角的余弦值為．