Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓： （，且）.

（1）設(shè)為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，滿(mǎn)足：過(guò)點(diǎn)P分別作圓與圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為、，使得，試求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若斜率為正數(shù)的直線(xiàn)平分圓，求證：直線(xiàn)與圓總相交.

Answer 1

【答案】（1）或（2）見(jiàn)解析

【解析】

分析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得，又為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，由此可得所求．（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即．問(wèn)題等價(jià)于圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，即 ，分析可得，由可得，從而得結(jié)論成立．

詳解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓與圓的半徑分別為，

由題意得，

即

化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>為坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

（2）依題意知直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，

則圓心到直線(xiàn)的距離為，

又圓的半徑為，

“直線(xiàn)與圓總相交”等價(jià)于“且， ”，

即 ①，

記，整理得，

當(dāng)時(shí)，得；

當(dāng)時(shí)，由判別式，

解得；

綜上得，的最小值為1，

所以由①可得，解得．

故直線(xiàn)與圓總相交．