Question

(本小題滿分14分)
如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點，點是點關于原點的對稱點.

(1) 設點分有向線段所成的比為，證明:;
(2) 設直線的方程是，過兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程.

Answer 1

（1）證明略
（2）圓的方程是 (或)

(1) 依題意，可設直線的方程為 代入拋物線方程得   
    ①
設兩點的坐標分別是 、、是方程①的兩根.
所以                                                   --- 2分
由點分有向線段所成的比為，得
又點與點關于原點對稱，故點的坐標是，從而.--- 2分
 --- 2分
 所以               --- 2分
(2) 由 得點的坐標分別是（6，9）、（－4，4）,     --- 2分
由   得
所以拋物線 在點處切線的斜率為,                  --- 2分
設圓的圓心為, 方程是
則解得
則圓的方程是 (或)--- 2分