Question

（2013•烏魯木齊一模）已知函數f（x）=

lnx

a

-x．
（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與X軸平行，求函數f（x）的單調區間；
（II）若對一切正數x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）求導數f′（x）=

1

ax

-1，據題意k=f′（1）=0，解得a值，再在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）分a＜0，a＞0兩種情況討論：a＜0時易判斷不成立；a＞0時，轉化為f（x）的最大值小于等于-1，構造函數可判斷a的取值范圍；

解答：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

ax

-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=

1

a

-1，
依題意

1

a

-1=0，解得a=1，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當x＞1時，f′（x）＜0，函數f（x） 單調遞減；
所以函數f（x）的單調增區間為（0，1），減區間為（1，+∞）；      
（Ⅱ）若a＜0，因為此時對一切x∈（0，1），都有

lnx

a

＞0，x-1＜0，所以

lnx

a

＞x-1，與題意矛盾，
又a≠0，故a＞0，由f′（x）=

1

ax

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a

．
當0＜x＜

1

a

時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；當x＞

1

a

時，f′（x）＜0，函數f（x） 單調遞減；
所以f（x）在x=

1

a

處取得最大值

1

a

ln

1

a

-

1

a

，
故對?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，當且僅當對?a∈R⁺，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1恒成立．
令

1

a

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．則g′（t）=lnt，
當0＜t＜1時，g′（t）＜0，函數g（t）單調遞減；當t＞1時，g′（t）＞0，函數g（t）單調遞增；
所以g（t）在t=1處取得最小值-1，
因此，當且僅當

1

a

=1，即a=1時，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1成立．
故a的取值集合為{1}．

點評：本題考查利用導數研究函數單調性、曲線上某點切線方程，考查函數的最值求解，考查分類討論思想，考查函數恒成立問題的解決，轉化函數最值是解決恒成立問題的常用方法．