Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設由b_n=（c≠0）構成的新數列為{b_n}，求證：當且僅當c=-時，數列{b_n}是等差數列；
（3）對于（2）中的等差數列{b_n}，設c_n=（n∈N^*），數列{c_n}的前n項和為T_n，現有數列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n₀∈N^*，使f（n）≤f（n₀）對一切n∈N^*都成立？若存在，求出n₀的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，
∴（3分）
（3分）
（2），=，
由2b₂=b₁+b₃得 ，化簡得2c²+c=0，c≠0，
∴
反之，令 ，即得b_n=2n，顯然數列{b_n}為等差數列，
∴當且僅當 時，數列{b_n}為等差數列．（9分）
（3）c_n==，∴+
f（n）=Tn•（）•0.9ⁿ==4（n-1）•0.9ⁿ（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4•0.9ⁿ[0.9n-（n-1）]=4•0.9ⁿ[1-0.1n]n∈N⁺
∴當n＜10時，f（n+1）＞f（n），當n=10時，f（n+1）=f（n），當n＞10時，f（n+1）＜f（n），
f（n）_max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n₀=10或11，使f（n）≤f（n₀）對一切n∈N^*都成立．（14分）
分析：（1）根據題意，由等差數列的性質，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯立，計算可得數列{a_n}的通項公式；
（2）首先計算Sn，代入數列 ，可得其通項公式，運用等差中項的性質分析，可得答案．
（3）求出c_n的表達式，數列{c_n}的前n項和為T_n，得到f（n）的關系式，通過作差法對n討論，求出n的取值，
點評：本題考查等差數列的通項公式的運用，注意結合等差數列的性質分析，可以減少運算量，降低難度．考查數列的求和，解題的方法是解方程與不等式的思想，體現的數學思想是轉化思想．