Question

已知常數a＞0，函數
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在區間[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常數t，使對于任意時，f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分段確定函數的單調遞增區間，即可得到函數f（x）的單調遞增區間；
（2）根據函數的通項，分類討論，確定函數的單調性，從而可得函數的最小值；
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，從而可得t為極小值點，或t為極大值點，根據，即可求得結論．
解答：解：（1）當時，為增函數． …（1分）
當時，f'（x）=3x²．
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜-a．…（3分）
∴f（x）的增區間為（-∞，-a），和（a，+∞）．…（4分）
（2）函數的圖象如圖，由圖可知，

①當1＜a＜2時，，f（x）在區間[1，a]上遞減，在[a，2]上遞增，最小值為f（a）=4a³；…（6分）
②當0＜a≤1時，f（x）在區間[1，2]為增函數，最小值為f（1）=1+3a⁴；…（8分）
③當a=2時，f（x）在區間[1，2]為減函數，最小值為f（a）=4a³； …（9分）
綜上，f（x）最小值．  …（10分）
（3）由f（x）f（2t-x）+f²（t）≥[f（x）+f（2t-x）]f（t），
可得[f（t）-f（x）][f（t）-f（2t-x）]≥0，…（12分）
即或成立，所以t為極小值點，或t為極大值點．
又時，f（x）沒有極大值，所以t為極小值點，即t=a…（16分）
（若只給出t=a，不說明理由，得1分）
點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，正確理解題意是關鍵．