Question

15．設[t]表示不超過實數t的最大整數，例如[3，2]=3，[-2，3]=-3，則在坐標平面xOy上，滿足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的點P（x，y）所形成的圖形的面積為4．

Answer 1

分析 根據方程求出x，y的整數解，則可以確定x的范圍，進而得到對應的y的范圍，求出面積即可．

解答 解：由題意得-2≤[x]≤2，-3≤[y]≤3，
則當-2≤x＜-1時，[x]=-2，此時由$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即0≤y＜1，
當-1≤x＜0時，[x]=-1，此時由$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{9}{4}$不是整數，不滿足條件，
當0≤x＜1時，[x]=0，此時由$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=9，即[y]=-3或3，即-3≤y＜-2或3≤y＜4，
當1≤x＜2時，[x]=1，此時由$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=$\frac{27}{4}$，不是整數，不滿足條件．
當2≤x＜3時，[x]=2，此時由$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1得[y]²=0，即[y]=0，即-1≤y＜0，
即滿足$\frac{[x]^{2}}{4}$+$\frac{[y]^{2}}{9}$=1的點P（x，y）構成的條件為$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x＜-1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{-3≤y＜-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{3≤y＜4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2≤x＜3}\\{-1≤y＜0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
則對應的面積S=1+1+1+1=4，
故答案為：4．

點評 本題考查探究性問題，是創新題，考查學生分析問題，解決問題的能力，而分類討論思想是高中數學的一個重要的數學思想．