Question

（2010•重慶三模）已知二項(xiàng)式（2x³-

1

x

）ⁿ的展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則其展開式中常數(shù)項(xiàng)為

14

．

Answer 1

分析：由題意可得 2ⁿ=64+64=128，故n=7，令展開式通項(xiàng)公式中x的系數(shù)等于0，求出r=6，由此求得展開式中常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：∵已知二項(xiàng)式（2x³-

1

x

）ⁿ的展開式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為64，
由于奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，都等于

2n

2

，
故偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和也為64，∴2ⁿ=64+64=128，∴n=7．
故二項(xiàng)式（2x³-

1

x

）ⁿ的展開式中通項(xiàng)公式為 T_r+1=C₇^r （2x³）^7-r (-1)r(x-

1

2

)r=(-1)r

27-rC

r 7

 x 

42-7r

2

，
令42-7r=0，可得r=6，
故展開式中常數(shù)項(xiàng)為 （-1）⁶2^7-6C₇⁶=14，
故答案為 14．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．