Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)積為T_n，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)n都有T_n＞

xn

ex

．

Answer 1

分析：（I）先對(duì)（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0進(jìn)行化簡(jiǎn)得到 an+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

an=

n

n+1

an，再由累乘法可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n．
（II）根據(jù)（I）求出T_n，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，證明過(guò)程中注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟和導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用．

解答：解：（I）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0
∴an+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

an=

n

n+1

an（另解-a_n不合題意舍去），
∴

a2

a1

•

a3

a2

an

an-1

=

1

2

，
即

an

a1

=

1

n

，an=

1

n

，n∈N+，
（II）由（I）得：T_n=n!，
當(dāng)x＞0時(shí)，T_n＞

xn

ex

等價(jià)于xⁿ＜n!e^x  ①
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，要證x＜e^x，令g（x）=e^x-x，
則g′（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e^x 成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，①式成立，即x^k＜k!e^x，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
要證x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
令h（x）=（k+1）!e^x-x^k+1，則h′（x）=（k+1）!e^x-（（k+1）x^k
=（k+1）（k!e^x-x^k），
由歸納假設(shè)得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
由①②即數(shù)學(xué)歸納法原理得原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用和累乘法．求數(shù)列通項(xiàng)公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等要熟練掌握，屬中檔題．