Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=α與x=β處有兩上不同的極值點，設(shè)f（x）在點（-1，f（-1））處切線為l₁，其斜率為k₁；在點
（1，f（1））利的切線為l₂，其斜率為k₂．
（1）若l1⊥l2，|α-β|=

10

3

，求bc.
（2）若α=-

1

2

，β∈(0，1)，求k₁k₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出求出函數(shù)的導函數(shù)，因為兩直線垂直得到斜率乘積為-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一個式子①，因為α和β為方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出|α-β|，代入到|α-β|=

10

3

中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-

1

2

代入到導函數(shù)中得到b與c的關(guān)系③，又因為β∈（0，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b與c的等式④，由③④解出c的取值范圍，而表示出k₁k₂，由c的范圍即可得到k₁k₂的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的兩根，∴α+β=-

2b

3

，αβ=

c

3

.
又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=(α+β)2-4αβ=

4b2

9

-4•

c

3

=

10

9

②
由①②得

c=0 b=± 10 2

或

c=6 b=± 82 2

（2）f′(x)=3x2+2bx+c，∵a=-

1

2

，f′(-

1

2

)=

3

4

-b+c=0，∴b=c+

3

4

③
∵β∈(0，1)，∴f′(0)＜0，f′(1)＞0，∴

c＜0 3+2b+c＞0

④
由③④得：-

3

2

＜c＜0
k1k2=(3+2b+c)(3-2b+c)=(3c+

9

2

)(

3

2

-c)=-3c2+

27

4

，∴k1k2∈(0，

27

4

)

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程的能力，以及會求直線的斜率．