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精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DE=λa(0<λ≤1).
(1)求證:對(duì)任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE;
(2)若二面角C-AE-D的大小為60°,求λ的值.
分析:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DS的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出
AC
BE
的坐標(biāo),計(jì)算向量的數(shù)量積,只要說明數(shù)量積與λ無關(guān)即可;
(2)分別求出平面ADE與平面ACE的一個(gè)法向量,利用二面角C-AE-D的大小為60°建立兩法向量的關(guān)系式,求出λ的值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DS的方向分別作為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(a,0,0),
B(a,a,0),C(0,a,0),E(0,0,λa),
(1)證明:∵
AC
=(-a,a,0),
BE
=(-a,-a,λa),
EA
=(a,0,-λa),
EC
=(0,a,-λa).
AC
BE
=(-a,a,0)•(-a,-a,λa)
=a2-a2+0•λa=0,
即對(duì)任意的λ∈(0,1],都有AC⊥BE.
(2)
DC
=(0,a,0)為平面ADE的一個(gè)法向量.
設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
則n⊥E,n⊥E,
∴即
x-λz=0
y-λz=0

取z=1,得n=(λ,λ,1).
∴cos60°═
|λ|
2λ2+1
?
2λ2+1
=2|λ|.
由λ∈(0,1],解得λ=
2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二面角及其度量,以及空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC⊥平面SBC.
(Ⅰ)證明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,SD丄底面ABCD,SB=3
3
,點(diǎn)E、G分別在AB,SG 上,且AE=
1
3
AB  CG=
1
3
SC.
(1)證明平面BG∥平面SDE;
(2)求面SAD與面SBC所成二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•醴陵市模擬)如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P為BC邊的中點(diǎn),AD=2,AB=1.SP與平面ABCD所成角為
π4
. 
(1)求證:平面SPD⊥平面SAP;
(2)求三棱錐S-APD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一點(diǎn),且SE=2EC,SA=6,AB=2.
(1)求證:平面EBD⊥平面SAC;
(2)求三棱錐E-BCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2006•西城區(qū)二模)如圖,四棱錐S-ABCD中,平面SAC與底面ABCD垂直,側(cè)棱SA、SB、SC與底面ABCD所成的角均為45°,AD∥BC,且AB=BC=2AD.
(1)求證:四邊形ABCD是直角梯形;
(2)求異面直線SB與CD所成角的大小;
(3)求直線AC與平面SAB所成角的大小.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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