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已知k∈R,a>0且a≠1,b>0且b≠1,函數f(x)=ax+k•bx
(1)如果實數a、b滿足a>1,ab=1,試判斷函數f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)設a>1>b>0,k≤0,判斷函數f(x)在R上的單調性并加以證明;
(3)若a=2,數學公式,且k>0,問函數f(x)的圖象是不是軸對稱圖形?如果是,求出函數f(x)圖象的對稱軸;如果不是,請說明理由.

解:(1)由已知,,于是f(x)=ax+k•a-x,則f(-x)=a-x+k•ax,…(1分)
若f(x)是偶函數,則f(x)=f(-x),即ax+k•a-x=a-x+k•ax
所以(k-1)(ax-a-x)=0對任意實數x恒成立,所以k=1.…(3分)
若f(x)是奇函數,則f(-x)=-f(x),即a-x+k•ax=-(ax+k•a-x),
所以(k+1)(ax+a-x)=0對任意實數x恒成立,所以k=-1.…(5分)
綜上,當k=1時,f(x)是偶函數;
當k=-1時,f(x)奇函數,
當k≠±1,f(x)既不是奇函數也不是偶函數.…(6分)
(2)因為a>1,0<b<1,所以函數y=ax是增函數,y=bx減函數,
由k≤0知,y=ax+k•bx是增函數,所以函數f(x)在R是增函數.…(8分)
證明如下:
設x1、x2∈R且x1<x2
=
因為a>1,0<b<1,x1<x2,k≤0,
所以
所以f(x2)-f(x1)>0,
所以函數f(x)在R是增函數.…(11分)
(3)f(x)=2x+k•2-x,若函數f(x)的圖象是軸對稱圖形,
且對稱軸是直線x=m,則函數f(x+m)是偶函數,
即對任意實數x,f(m-x)=f(m+x),…(14分)
2m-x+k•2-(m-x)=2m+x+k•2-(m+x)
化簡得(2x-2-x)(2m-k•2-m)=0,…(16分)
因為上式對任意x∈R成立,
所以2m-k•2-m=0,.…(17分)
所以,函數f(x)的圖象是軸對稱圖形,其對稱軸是直線.…(18分)
分析:(1)根據已知條件,將代入函數表達式,得f(x)=ax+k•a-x,再利用奇函數和偶函數的定義,用比較系數的方法,得出函數奇偶性的兩種不同情況;
(2)因為a>1,0<b<1,根據指數函數單調性的定理,可得函數y=ax是增函數,y=bx減函數,再根據函數單調性的運算法則,得出函數f(x)=ax+k•bxR上的是增函數,最后用函數單調性的定義加以證明;
(3)根據函數f(x)=2x+k•2-x的圖象是軸對稱圖形且對稱軸是直線x=m,則函數f(x+m)是偶函數,即得到即對任意實數x,f(m-x)=f(m+x),代入表達式,采用比較系數法,可得2m-k•2-m=0,最終求出
點評:本題是一道函數綜合題,屬于難題.著重考查了函數的單調性與奇偶性和函數圖象的對稱性,解題時要注意有關定義和結論的正確理解與準確應用.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知k∈R,函數f(x)=ax+k•bx(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1)
(1)已知函數y=x+
1
x
(x>0)
在區間(0,1]上單調遞減,在區間[1,+∞)上單調遞增.若a=2,b=
1
2
,k=1
,求函數f(x)的單調區間.
(2)若實數a,b滿足ab=1.求k的值,使得函數f(x)具有奇偶性.(寫出完整解題過程)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知k∈R,函數f(x)=ax+k•bx(a>0且a≠1,b>0且b≠1).
(Ⅰ)如果實數a,b滿足a>1且ab=1,函數f(x)是否具有奇偶性?如果有,求出相應的k值;如果沒有,說明原因.
(Ⅱ)如果a=4,b=
12
,討論函數f(x)的單調性.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•嘉定區三模)已知k∈R,a>0且a≠1,b>0且b≠1,函數f(x)=ax+k•bx
(1)如果實數a、b滿足a>1,ab=1,試判斷函數f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)設a>1>b>0,k≤0,判斷函數f(x)在R上的單調性并加以證明;
(3)若a=2,b=
12
,且k>0,問函數f(x)的圖象是不是軸對稱圖形?如果是,求出函數f(x)圖象的對稱軸;如果不是,請說明理由.

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科目:高中數學 來源:2011年上海市嘉定區高考數學三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知k∈R,a>0且a≠1,b>0且b≠1,函數f(x)=ax+k•bx
(1)如果實數a、b滿足a>1,ab=1,試判斷函數f(x)的奇偶性,并說明理由;
(2)設a>1>b>0,k≤0,判斷函數f(x)在R上的單調性并加以證明;
(3)若a=2,,且k>0,問函數f(x)的圖象是不是軸對稱圖形?如果是,求出函數f(x)圖象的對稱軸;如果不是,請說明理由.

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