Question

設函數 
（1）證明 當，時，；
（2）討論在定義域內的零點個數，并證明你的結論.

Answer 1

（1）見解析；（2） 時有唯一零點 ，時，有兩個零點，時有唯一零點， 時無零點.

試題分析：（1）構造新函數后證明>0恒成立即可；（2）當時通過單調性可知零點只有一個，當時通過的最大值與0的比較即可判斷零點情況.
試題解析：(1),令 ，
 ，令 ，則令 ，令 ， .
令 得 .當 時 單調遞增， 時 單調遞減，
又 ， ，∴在上恒小于零.即當時 單調遞減.
又 ，∴當時，>0恒成立，即.
(2) .
1°當 時， 恒成立,即 單調遞增，此時 ， ，此時的零點在 上.
2°當 時， ， .
∴在 上單調遞增，在 上單調遞減，∴ 為的最大值點.
令 可得 即當時有唯一零點；
當 時， ，此時有兩個零點 ， ；
當 時， ，∴在 上無零點.
綜上所述， 時有唯一零點 ，
時，有兩個零點，
時有唯一零點，
 時無零點.