Question

（1）設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)舉出一個(gè)使它不成立的x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將所給的不等式分成三個(gè)式子，用基本不等式即a＞0，b＞0，a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）進(jìn)行證明；
（2）因?yàn)閤∈R，所以分x＞0和x≤0兩種情況進(jìn)行證明，當(dāng)x＞0時(shí)，由（1）知不等式成立；當(dāng)x≤0時(shí)有8x³≤0，用立方和對(duì)不等式左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用配方求二次函數(shù)的最小值為0．
解答：證明：（1）∵x是正實(shí)數(shù)，由均值不等式知x+1≥2，
1+x²≥2x，
x³+1≥2，
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）≥2•2x•2=8x³（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）；
故（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（x+1）（x²+1）（x³+1）≥8x³仍然成立，
當(dāng)x＞0時(shí)，由（1）知不等式成立；
當(dāng)x≤0時(shí)，8x³≤0，
∵（x³+1）=（x+1）（x²-x+1）
∴（x+1）（x²+1）（x³+1）=（x+1）²（x²+1）（x²-x+1）
=（x+1）²（x²+1）[（x-）²+]≥0，
綜上可知，此時(shí)不等式仍然成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式在證明中的應(yīng)用，注意前提條件都是正實(shí)數(shù)，當(dāng)不是正實(shí)數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，且證明不等式需要證明左邊的最小值大于等于右邊的最大值．