Question

【題目】設為數列的前n項和，且，當時，.

（I）證明：數列為等比數列；

（Ⅱ）記，求.

Answer 1

【答案】（I）見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）當n≥2時，（n﹣1）an＝（n+1）Sn﹣1+n（n﹣1），n∈N*．可得（n﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）＝（n+1）Sn﹣1+n（n﹣1），化為：1＝2（1），1＝2．即可證明．

（II）由（I）可得：1＝2n，可得：Sn＝n2n﹣n．設數列{n2n}的前n項和為An．利用錯位相減法即可得出An，再寫出即可.

（I）當時，，

所以，

即，則，

所以，又，

故數列是首項為2，公比為2的等比數列.

（II）由（I）可得：1＝2n，可得：Sn＝n2n﹣n．

設數列{n2n}的前n項和為An．

∴An＝2+222+323+……+n2n，

2An＝22+223+……+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣An＝2+22+……+2n﹣n2n+1n2n+1，

可得：An＝（n﹣1）2n+1+2．

∴Tn＝S1+S2+…+Sn＝（n﹣1）2n+1+2．