Question

在直角坐標平面上有一點列P_n(x_n,y_n)(n∈N^*),點P_n位于直線y=3x+上,且P_n的橫坐標構成以為首項,-1為公差的等差數列{x_n}.

(1)求點P_n的坐標;

(2)設拋物線列C₁,C₂,…,C_n,…中的每一條的對稱軸都垂直于x軸,第n條拋物線C_n的頂點為P_n,且經過點D_n(0,n²+1)(n∈N^*).記與拋物線C_n相切于點D_n的直線的斜率為k_n,求證:++…+＜;

(3)設S={x|x=2x_n,n∈N^*},T={y|y=4y_n,n∈N^*},等差數列{a_n}的任意一項a_n∈S∩T,其中a₁是S∩T中的最大數,且-256＜a₁₀＜-125,求數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

解:(1)x_n=+(n-1)×(-1)=-n=,

∴y_n=3·x_n+=-3n=.

∴P_n(,).

(2)證明:∵C_n的對稱軸垂直于x軸,且頂點為P_n,

設C_n的方程為y=a(x+)².

把D_n(0,n²+1)代入上式,得a=1.

∴C_n的方程為y=x²+(2n+3)x+n²+1.

∴k_n=y′|_x=0=2n+3.

∴==().

∴++…+=［()+()+…+()］

=()=＜.

(3)S={x|x=-(2n+3),n∈N*},

T={y|y=-(12n+5),n∈N^*}={y|y=-2(6n+5)-3,n∈N^*},

∴S∩T=T,T中的最大數a₁=-17.

設{a_n}的公差為d,則a₁₀=-17+9d∈(-265,-125),由此得＜d＜-12.

又∵a_n∈T,∴d=-12m(m∈N^*).

∴d=-24.∴a_n=7-24n(n∈N^*).