Question

已知f（x）=，g（x）=．
（1）求證：f（x）是奇函數，并求f（x）的單調區間；
（2）分別計算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函數f（x）和g（x）對所有不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數的奇偶性的定義證明，利用單調性的定義確定函數的單調區間．
（2）分別求出f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，然后根據規律得到結論．
解答：解：（1）函數f（x）的定義域是{x|x≠0}，…（1分）
∵f（-x）=，
∴f（x）是奇函數．…（4分）
設0＜x₁＜x₂，=，…（6分）
∵y=x^3r上是增函數，故，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（0，+∞）上是增函數．…（8分）
又∵f（x）是奇函數，∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數．
∴函數f（x）的增區間是（-∞，0）和（0，+∞）．…（10分）
（2）=，．…（12分）
同理f（9）-5f（3）g（3）=0．猜想：f（x²）-5f（x）g（x）=0 …（14分）
證明：∵．
∴等式成立．…（16分）
點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，綜合性較強．