Question

已知，動點滿足.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點作直線與曲線交于兩點，若，求直線的方程；

（Ⅲ）設為曲線在第一象限內的一點，曲線在處的切線與軸分別交于點，求面積的最小值.

Answer 1

（1）（2）（3）2

解析:

（Ⅰ）動點的軌跡的方程為   ；   ………………………………3分

（Ⅱ）解法1  當直線的斜率不存在時，,，不合題意；

當直線的斜率存在時,設過的直線：，代入曲線的方程得

設，則

，        解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

解法2  當直線為軸時， ， 不合題意；

當直線不為軸時，設過的直線：，代入曲線的方程得

設，則

  =     解得

故所求的直線的方程為；…………………………………9分

（Ⅲ）設由得

處曲線的切線方程為 

令得 ；   令得 .

由  ，  

  得.

故面積的最小值為2.…………………………………………14分