Question

雙曲線C：x²-y²=2右支上的弦AB過右焦點F．
（1）求弦AB的中點M的軌跡方程
（2）是否存在以AB為直徑的圓過原點O？若存在，求出直線AB的斜率K的值．若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點差法，可求求弦AB的中點M的軌跡方程；
（2）以AB為直徑的圓過原點O，可得OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達定理，即可得出結論．

解答：解：（1）設M（x，y），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
兩式相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）-2y（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=

x

y

，
∵雙曲線C：x²-y²=2右支上的弦AB過右焦點F（2，0），
∴

y

x-2

=

x

y

，
化簡可得x²-2x-y²=0，（x≥2）-------（6分）  
（2）假設存在，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=k（x-2）
由已知OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，
∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0---------①

x2-y2=2 y=k(x-2)

⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0，
所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

（k²≠1）--------②
聯立①②得：k²+1=0無解
所以這樣的圓不存在．-----------------------（14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查點差法的運用，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．