Question

已知橢圓的中心在原點，一個焦點是F（2，0），且兩條準線間的距離為λ（λ＞4）．
（I）求橢圓的方程；
（II）若存在過點A（1，0）的直線l，使點F關于直線l的對稱點在橢圓上，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先設出橢圓的方程，進而根據焦點坐標求得c，根據兩條準線間的距離為λ求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（II）依題意，直線l的斜率存在且不為0，記為k，則直線l的方程是y=k（x-1）．設點F（2，0）關于直線l的對稱點為F'（x₀，y₀），把F和F'的中點坐標代入直線方程求得x₀和y₀的表達式，代入橢圓方程可到關于k的方程，根據判別式大于等于0和方程對稱軸大于0求得λ的取值范圍．

解答：解：（I）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0).
由條件知c=2，且

2a2

c

=λ，所以a²=λ，b²=a²-c²=λ-4．
故橢圓的方程是

x2

λ

+

y2

λ-4

=1(λ＞4).
（II）依題意，直線l的斜率存在且不為0，記為k，則直線l的方程是y=k（x-1）．
設點F（2，0）關于直線l的對稱點為F'（x₀，y₀），
則

y0 2 =k( x0+2 2 -1) y0 x0-2 •k=-1

解得

x0= 2 1+k2 y0= 2k 1+k2

因為點F'（x₀，y₀）在橢圓上，所以

( 2 1+k2 )2

λ

+

( 2k 1+k2 )2

λ-4

=1.
即λ（λ-4）k⁴+2λ（λ-6）k²+（λ-4）²=0．
設k²=t，則λ（λ-4）t²+2λ（λ-6）t+（λ-4）²=0．
因為λ＞4，所以

(λ-4)2

λ(λ-4)

＞0.
當且僅當

△=[2λ(λ-6)]2-4λ(λ-4)3 - 2λ(λ-6) λ(λ-4) ＞0.

(*)
上述方程存在正實根，即直線l存在．
解（*）得

λ≤ 16 3 4＜λ＜6.

所以4＜λ≤

16

3

.
即λ的取值范圍是4＜λ≤

16

3

.

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的關系．考查了學生對圓錐曲線綜合知識點的掌握．