Question

（12分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面

是的中點，作交于點。

   （I）證明：平面；

   （Ⅱ）證明：平面；

   （Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

解析：（I）證明：連結交于，連結

    底面是正方形，點是的中點，

    在中，是中位線，，

    而平面且平面，所以，平面

（Ⅱ）證明：底面且底面，

，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線。

   ①

同樣由底面得

底面是正方形，有平面。

而平面 ②

由①和②推得平面

而平面

又且，所以平面

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，，故是二面角的平面角

由（2）知，

設正方形的邊長為，則

   

在中，

在中，

所以，二面角的大小為

方法二；如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設

（I）證明：連結AC，AC交BD于G，連結EG。

依題意得A（,0,0）,P(0,0, ),

底面是正方形，是此正方形的中心，故點的坐標為）

且，這表明

而平面且平面平面

（Ⅱ）證明：依題意得，

又，故

由已知，且，所以平面

（Ⅲ）解：設點的坐標為，則則

從而所以

由條件知，，即

，解得

點的坐標為，且

    

即，故二面角的平面角。

，且

所以，二面角的大小為（或用法向量求）