Question

已知函數f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）（a＞0且a≠1）
（1）求函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）利用對數函數的單調性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，解得x的取值范圍，即可得到函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域．
（2）不等式即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），分a＞1和1＞a＞0兩種情況，利用對數函數的單調性，分別求出
不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．
解答：解：（1）要使函數h（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（3-x）有意義，
需，解得 1＜x＜3，故函數h（x）=f（x）-g（x）的定義域為（1，3）．
（2）∵不等式f（x）≥g（x），即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），
∴當a＞1時，有，解得 2＜x＜3．
當1＞a＞0時，有，解得 1＜x＜2．
綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；
當1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．
點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數的定義域，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．