Question

某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：

X	1	2	3	4
Y	51	48	45	42

 
這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．
(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；
(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）
（2）所求Y的分布列為

Y	51	48	45	42
P

 
因此，所求年收獲量Y的期望為E(Y)＝46

(1)所種作物總株數(shù)N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有＝36(種)，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3＋3＋2＝8(種)．
故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近”的概率為＝.
(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列．
因?yàn)镻(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
記n_k為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k＝1,2,3,4)，則n₁＝2，n₂＝4，n₃＝6，n₄＝3.
由P(X＝k)＝，得
P (X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故所求Y的分布列為

Y	51	48	45	42
P

 
因此，所求年收獲量Y的期望為
E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46.