Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a-1）x-3在區(qū)間上的最大值為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：因為當(dāng)a等于0時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值不為1，所以得到a不等于0，即可得到函數(shù)為二次函數(shù)，找出f（x）的對稱軸方程，分三種情況考慮：當(dāng)f（-）等于1時，代入函數(shù)解析式即可求出a的值，然后求出對稱軸方程，經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)a要小于0時，頂點取得最大值，與f（-）等于1矛盾，不合題意；當(dāng)f（2）等于1時，代入函數(shù)解析式即可求出a的值，同理求出函數(shù)的對稱軸方程，判斷f（2）為最大值符合題意；當(dāng)頂點為最高點時，得到f（x）=1，代入解析式即可求出a的值，經(jīng)過驗證得到滿足題意的a的值，綜上，得到滿足題意的所有a的值．
解答：解：a=0時，f（x）=-x-3，f（x）在上不能取得1，
故a≠0，則f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的對稱軸方程為x=，
①令，解得a=-，
此時x=-，
∵a＜0，∴f（x）最大，所以不合適；
②令f（2）=1，解得a=，
此時x=-
因為a=且距右端2較遠，所以f（2）最大合適；
③令f（x）=1，得a=，經(jīng)驗證a=
綜上，a=或a=．
點評：此題考查學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．解題的關(guān)鍵是找出對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．