Question

現用4種顏色給三棱柱的6個頂點涂色，要求同一條棱的兩端點的顏色不同，問有

264

種不同的涂色方案．

Answer 1

分析：根據題意，先設該三棱柱為ABC-DEF，4種顏色分別為1′、2′、3′、4′；由三棱柱的性質分析可得：A、B、C顏色互不相同，D、E、F顏色也互不相同；A與D、B與E、C與F顏色不同；則分2步進行，先分析底面ABC，易得其涂色情況數目，再對另一底面分類討論，可得其情況數目；最后由分步計數原理，計算可得答案．

解答：解：設該三棱柱為ABC-DEF，4種顏色分別為1′、2′、3′、4′；
由三棱柱的特點可知A、B、C顏色互不相同，D、E、F顏色也互不相同；A與D、B與E、C與F顏色不同；
先為A、B、C涂顏色有涂法A₄³=24種，比如選擇1′、2′、3′三個顏色．
對于D、E、F的涂法可分為兩種情況：
①是選顏色4′，再選擇兩個顏色有C₃²=3種，顏色4′涂一個點后另兩個顏色涂法就確定了，故共有涂色方法3×3=9種；
②是沒選顏色4′，易知涂色方法有2種．
于是共有涂色方法24×（9+2）=264種；
故答案為264．

點評：本題考查排列組合的運用，是典型的涂色問題；解題時，一般涉及分類討論，故注意考慮要全面而細致，做到不重不漏．