Question

某家電企業根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售某種家電的統計規律，每生產該種家電x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為3萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1.5萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入R（x）（萬元）滿足R（x）=

-0．5x2+5.5x(0≤x≤7) 18                      (x＞7)

，假定該家電產銷平衡（即生產的產品都能賣出），根據上述統計規律，請完成下列問題：
（1）寫出利潤函數y=f（x）解析式（利潤=銷售收入-總成本）；
（2）假定該企業的產量必須在7百臺以上，要使工廠有盈利，求產量x的范圍；
（3）若沒有（2）的條件該企業生產多少臺產品時，可使盈利最多．

Answer 1

分析：（1）先計算出總成本，再利用利潤=銷售收入-總成本即可；
（2）當x＞7時，f（x）=15-1.5x，聯立f（x）＞0，x＞7，解出即可；
（3）分當0≤x≤7時，當x＞7時，利用函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）由題意可知：總成本為G（x）=1.5x+3（萬元），
∴利潤函數y=f（x）=R（x）-G（x）=

-0.5x2+4x-3，當0≤x≤7時 15-1.5x，當x＞7時

；
（2）該企業的產量必須在7百臺以上，要使工廠有盈利，則f（x）＞0，x＞7，即

15-1.5x＞0 x＞7

，解得7＜x＜10，∴產量x的范圍是（7，10）；
（3）①當0≤x≤7時，f（x）=-0.5x²+4x-3=-

1

2

(x-4)2+5，由二次函數的單調性可知：當x=4時，f（x）取得最大值5萬元；
②當x＞7時，f（x）=-1.5x+15關于x單調遞減，
∴f（x）＜15-1.5×7=4.5萬元．

點評：正確理解總成本=固定成本+生產成本，利潤=銷售收入-總成本，及熟練掌握分段函數的意義、二次函數與一次函數的單調性是解題的關鍵．