Question

已知三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=2x，OA=x，OB=y且x+y=3，則三棱錐O-ABC的體積最大時，其外接球的體積為     ．

Answer 1

【答案】分析：（1）三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，可以表示出三棱錐O-ABC的體積V的函數；這是x的三次函數，用求導法得最大值．
（2）三棱錐O-ABC的體積取得最大值時，OB=1，OA=2，OC=4且兩兩垂直；建立空間直角坐標系，可以求出外接圓的半徑，從而求出外接圓的體積．
解答：解：如圖（1），在三棱錐A-OBC中，OA⊥OB，OA⊥OC，
∴OA⊥平面OBC；又OB⊥OC，∴△OBC是Rt△；
所以三棱錐A-OBC的體積為：V===•=；
又x+y=3，∴V==，（x＞0）；
對V求導數，得V^′=-x²+2x；令-x²+2x=0，得x=2，或x=0（舍去）；
所以，當x=2，y=1時，V=取最大值．    
如圖（2），建立空間直角坐標系；∵OB=1，OA=2，OC=4；則
O（0，O，O），B（1，0，0），A（0，0，2），C（0，4，0），
設三棱錐的外接球球心P（x，y，z）；
 外接球的半徑R=PA=PB=PC=PO，
∴x²+y²+（z-2）²=x²+y²+z²，得z=1；（x-1）²+y²+z²=x²+y²+z²，得x=；
x²+（y-4）²+z²=x²+y²+z²，得y=2；
此時可求出外接球的半徑R=．
所以，三棱錐外接球的體積為：V==．
點評：本題以三棱錐的體積，球的體積公式的應用為載體；考查了用導數法求三次函數的最值，和建立空間直角坐標系求距離；是有難度的小題．我們這樣小題大作也很好．