Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=4x²+2x+1．
（1）設(shè)g（x）=f（x-1）-2x，求g（x）在[-2，5]上的值域；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知寫出g（x）的解析式，判斷所給區(qū)間上的單調(diào)性再求最值即可得到值域；
（2）寫出h（x）的解析式，數(shù)形結(jié)合求解m的取值．

解答：解：（1）因為f（x）=4x²+2x+1，
所以g（x）=f（x-1）-2x=4（x-1）²+2（x-1）+1-2x=4x²-8x+3，
因為g（x）是開口方向向上、對稱軸為x=1的二次函數(shù)，
所以g（x）在[-2，1]上單調(diào)遞減，在[1，5]上單調(diào)遞增，
所以其最小值為g（1）=-1，最大值為g（5）=63，
所以函數(shù)g（x）在[-2，5]上的值域為[-1，63]．
（2）由題意可得：h（x）=f（x）-mx=4x²+2x+1-mx=4x²+（2-m）x+1，
所以h（x）是開口方向向上、對稱軸為x=-

2-m

8

=

m-2

8

的二次函數(shù)，
因為h（x）在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，所以

m-2

8

≤2或

m-2

8

≥4，即m≤18或m≥34，
所以m的取值范圍是（-∞，18]∪[34，+∞）．

點評：本題考察二次函數(shù)的單調(diào)性、值域，解答時要注意數(shù)形結(jié)合，屬基礎(chǔ)題．