Question

2．已知投資x萬元經銷甲商品所獲得的利潤為P=$\frac{x}{4}$；投資x萬元經銷乙商品所獲得的利潤為Q=$\frac{a}{2}$$\sqrt{x}$（a＞0）．若投資20萬元同時經銷這兩種商品或只經銷其中一種商品，使所獲得的利潤不少于5萬元，則a的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 5
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 設投資甲商品20-x萬元，則投資乙商品x萬元（0≤x≤20），由題意，可得P+Q≥5，0≤x≤20時恒成立，化簡求最值，即可得到結論．

解答 解：設投資甲商品20-x萬元，則投資乙商品x萬元（0≤x≤20）．
利潤分別為P=$\frac{20-x}{4}$，Q=$\frac{a}{2}$$\sqrt{x}$（a＞0）
∵P+Q≥5，0≤x≤20時恒成立
則化簡得a$\sqrt{x}$≥$\frac{x}{2}$，0≤x≤20時恒成立
（1）x=0時，a為一切實數；
（2）0＜x≤20時，分離參數a≥$\frac{\sqrt{x}}{2}$，0＜x≤20時恒成立
∴a要比右側的最大值都要大于或等于 
∵右側的最大值為$\sqrt{5}$
∴a≥$\sqrt{5}$
故選A．

點評 本題考查函數最值的運用，考查學生利用數學知識解決實際問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．