Question

設函數．
（I）求的值；
（II）若關于x的方程在x∈[0，1）上有實數解，求實數t的取值范圍．
（III）若f（x）的反函數f^-1（x）的圖象過點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）直接把變量代入，整理即可得到結論；
（II）先把所求問題轉化為t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有實數解，通過求其導數，即可求出其最大最小值，進而得到結論．
（III）先根據條件求出a，再結合放縮法即可得到結論的證明．
解答：解：（I）
=log_a+log_a-f（）
=log_a（•）-f（）
=log_a-f（）
=log_a-f（）
=f（）-f（）
=0．
（II）因為關于x的方程在x∈[0，1）上有實數解，
所以：log_a=log_a；
所以：=在x∈[0，1）上有實數解；
所以：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有實數解，
因為：t′=6x（x-1），且x∈[0，1）時，t′（x）＜0，
所以：t（x）在[0，1）上單調遞減，
所以：t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5，
所以：實數t的取值范圍是：t（4，5]．
（III）因為f^-1（x）的圖象過點，
所以：=，解得a=2．
所以：f^-1（x）==1-；
得：1-f^-1（x）=；
當n≥3時，
所以：（1-f^-1（1））+（1-f^-1（2））+（1-f^-1（3））+…+（1-f^-1（n））
=++
＜2（+++…+）
=2（+）
＜2（++）=．
所以：．
因為：當n=1或n=2時，成立．
故對所有的正整數n成立．
點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．其中涉及到不等式的證明．