Question

已知函數y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在一次函數y=mx+n的圖象上，其中m＞0，n＞0，則

1

m

+

2

n

最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據對數函數的性質，可以求出A點，把A點代入一次函數y=mx+n，得出2m+n=1，然后利用不等式的性質進行求解．

解答：解：∵函數y=log_a（x-1）+1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，
可得A（2，1），
∵點A在一次函數y=mx+n的圖象上，
∴2m+n=1，∵m，n＞0，
∴2m+n=1≥2

2mn

，
∴mn≤

1

8

，
∴（

1

m

+

2

n

）=

2m+n

mn

=

1

mn

≥8（當且僅當n=

1

2

，m=

1

4

時等號成立），
故答案為8．

點評：此題主要考查的對數函數和一次函數的性質及其應用，還考查的均值不等式的性質，把不等式和函數聯系起來進行出題，是一種常見的題型．