Question

已知直平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各條棱長均為3，∠BAD=60°．長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD₁上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與共一個(gè)頂點(diǎn)D的三個(gè)面所圍成的幾何體的體積為 ______．

Answer 1

|MN|=2，則|DP|=1，則點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)D為球心，半徑r=1的球，
則球的體積為V=

4

3

π•r3=

4π

3

，
∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°=

1

3

•360°，
只取半球的

1

3

，則V=

4

3

π•

1

3

•

1

2

=

2π

9

.；
故答案為

2π

9

．