Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f'（x）=-2x+7，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（I）求數列{a_n}的通項公式及S_n的最大值；
（II）令，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f（x）的導函數即可得到a與b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n=-n²+7n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通項公式，令a_n=-2n+8≥0得到n的范圍即可求出S_n的最大值；
（II）由題知，數列{b_n}是首項為8，公比是的等比數列，表示出{nb_n}的各項，利用錯位相減法求出{nb_n}的前n項和即可．
解答：解：（I）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x²+7x
又因為點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，所以有S_n=-n²+7n
當n=1時，a₁=S₁=6
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，∴a_n=-2n+8（n∈N^*）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴當n=3或n=4時，S_n取得最大值12
綜上，a_n=-2n+8（n∈N^*），當n=3或n=4時，S_n取得最大值12

（II）由題意得
所以，即數列{b_n}是首項為8，公比是的等比數列，
故{nb_n}的前n項和T_n=1×2³+2×2²++n×2^-n+4①
②
所以①-②得：
∴
點評：考查學生利用做差法求等差數列通項公式的能力，以及掌握用錯項相減的方法求數列前n項的和．考查學生求導數的能力，以及靈活運用等比數列的前n項和公式來解決問題．