Question

已知曲線E上任意一點P到兩個定點F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距離之和為4．
（1）求曲線E的方程；
（2）設過點（0，-2）的直線l與曲線E交于C，D兩點，若以CD為直徑的圓恰好經過原點O．求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可得曲線E為橢圓，且a=2，c=

3

，求出b值，即得橢圓的方程．
（2）設出直線l的方程，由

OC

 •

OD

=0得到①，把直線l的方程代入橢圓的方程化簡可得到關于x的一元二次方程，把根與系數的關系代入①解出 k，即得直線l的方程．

解答：解：（1）由橢圓的定義可得曲線E為橢圓，且 a=2，c=

3

，∴b=1，故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

1

=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，顯然不滿足題意，設直線l的方程為 y=kx-2，
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
由于以CD為直徑的圓恰好經過原點O，∴

OC

 •

OD

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0   ①．
把直線l的方程代入橢圓的方程化簡可得 （1+4k²） x²-16kx+12=0．
由△＞0可得  k²＞

3

4

，又 x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
代入①得(1+k2)

12

1+4k2

-2k•

16k

1+4k2

+4=0，
∴k=2 或-2，均滿足  k²＞

3

4

．
直線l的方程為2x-y-2=0，2x+y+2=0．

點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，以及橢圓的簡單性質的應用，求出直線l的斜率k是解題的難點．