Question

若函數f（x）對于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）．且f( 1 )=

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，給出如下命題：
①f（0）=0；②對于任意的x，都有f（2x）=2f（x）；③f（x）是奇函數；④對任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）；⑤函數f（x）的值域也是R．你認為正確命題的序號有（　　）

A．①②③

B．①②③④

C．①②③⑤

D．①②③④⑤

Answer 1

分析：對于抽象函數的求解策略和方法為賦值法，①令x=y=0，代入已知條件，即可求得結果；②令y=x，代入已知條件即可．③y=-x，代入已知條件即可判定函數的奇偶性；結合已知條件得到所有的正數都可以用f( 1 )=

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表示，且在（0，+∞）上遞增，即可判斷出④⑤．

解答：解：①∵f（x+y）=f（x）+f（y）對于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
②令y=x，代入已知條件f（x+y）=f（x）+f（y）⇒f（2x）=2f（x）；
③函數f（x）是R上的奇函數．
證明：令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）是R上的奇函數．
④∵f( 1 )=

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，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴所有的 正數都可以用f( 1 )=

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表示出來，且在（0，+∞）上是增函數
所以④⑤都成立．
故①②③④⑤都成立．
故選D．

點評：本題考查抽象函數的有關問題，其中賦值法是常用的方法，考查函數的奇偶性的定義．判斷函數的奇偶性，主要就是確定f（x）和f（-x）的關系，就是看f（x）±f（-x）=0的關系式．如果f（x）是奇函數，且f（x）在x=0處有意義，則f（0）=0