Question

（本題總分14分）已知函數＝ax²+x-3,g(x)=-x+4lnx

h(x)=-g(x)

(1)當a=1時，求函數h(x)的極值。

（2）若函數h(x)有兩個極值點，求實數a的取值范圍。

（3）定義：對于函數F（x）和G（x），若存在直線l:y=kx+b，使得對于函數F（x）和

G（x）各自定義域內的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，則稱直線l:y=kx+b為函數F（x）和G（x）的“隔離直線”。則當a=1時，函數和g(x)是否存在“隔離直線”。若存在，求出所有的“隔離直線”。若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）a=1時，＝，，

的定義域是（0，+∞），

當x∈(0,1)時，遞減

當x∈(1，+∞)時，遞增

∴x=1時，h(x)取得極小值h(1)=0,h(x)無極大值。…………（4分）

（2），x∈(0,+∞)

依題意，方程在（0，+∞）上有兩個不相等的解。

∴∴-

∴a的取值范圍是（-）…………………………（9分）

（3）設存在，a=1時，

由（1）知，當且僅當x＝1時，h(x)=0,此時，f(1)=g(1)=-1

∴y=與y=g(x)的圖象有唯一的交點A（1，-1）

直線l必過點A，設l的方程：y+1=k(x-1),y=kx-k-1

由≥kx-k-1恒成立得x²+(1-k)x+k-2≥0恒成立

∴△＝（1-k）²-4(k-2)=(k-3)²≤0

∴k=3,直線l的方程：y=3x-4………………………………（12分）

以下證明g(x)≤3x-4對x>0恒成立

令φ（x）＝3x-4-g(x)=4x-4-4lnx

φ`(x)=4-

當x∈(0,1)時 , φ`(x)<0, φ(x)遞減，當x∈（1，+∞）時，φ(x)>0，φ(x)遞增，∴φ(x)的最小值為φ(1)＝0，∴φ(x)≥0恒成立

即g(x)≤3x-4對x>0恒成立

綜上，和g(x)存在唯一的“隔離直線”：y=3x-4。……（14分）